Инструкция к огэ по математике 2022

В этой статье:

Структура ОГЭ по математике — 2023Какой минимум надо набрать, чтобы сдать ОГЭ по математике — 2023Когда и как начинать подготовку к экзаменуСоветы от команды преподавателей MAXIMUM Education

Чтобы подготовиться к ОГЭ по математике — 2023, нужно учитывать абсолютно все изменения: и в содержании заданий, и в формулировках, и в критериях. Если этого не сделать, то можно потерять важные баллы. А ОГЭ по математике — обязательный предмет, его нельзя не сдать. Без сданного экзамена по математике вы не получите аттестат!

Чтобы этого не произошло, я тщательно изучаю критерии и особенности ОГЭ по математике со своими учениками. Когда мы готовимся к экзамену, я учу их внимательно читать задания и оформлять ответы в строгом соответствии с критериями. А содержание моего курса полностью актуально: мы разбираем только те темы, которые точно спрашивают на экзамене. Ничего лишнего!

Так что мои ученики всегда получают свои аттестаты — с ОГЭ по математике у них не бывает проблем. Хотите, чтобы и у вас их не было? Записывайтесь на курсы подготовки к ОГЭ, и я научу вас решать этот экзамен без ошибок!

ОГЭ С. А. Шестаков

И.
В. Ященко

ПО МАТЕМАТИКЕ от А до Я 2018

ФГОС

МОДУЛЬНЫЙ
КУРС

ГЕОМЕТРИЯ

•   методические
рекомендации с разбором задач

•   тренинги к каждому
заданию

•   тренировочные варианты в
формате ОГЭ-2018

И.В.Ященко,
С.А.Шестаков

ОГЭ по
математике от А до Я.

Модульный
курс

Геометрия

Издание соответствует Федеральному государственному
образовательному стандарту (ФГОС)

Москва

Издательство МЦНМО 

УДК :

ББК .я Я

Ященко И.В., Шестаков С.А.

Я ОГЭ по математике от А до Я.
Модульный курс. Геометрия.—М.: МЦНМО, . —  с.

ISBN
----

Настоящее пособие предназначено для
подготовки к Основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике. Пособие
содержит методические рекомендации с разбором типовых примеров к каждому
заданию ОГЭ, подготовительные и зачётные тренинги к каждому заданию ОГЭ,
тренировочные работы в формате ОГЭ, соответствующие текущим спецификации и
демоверсии экзаменационной работы.

Такая структура пособия представляется
универсальной, она позволяет познакомиться со всем спектром заданий открытого
банка ОГЭ по математике и методами их решения, обеспечить качественную и
полноценную подготовку к экзамену на любом уровне.

Издание соответствует Федеральному
государственному образовательному стандарту (ФГОС).

ББК .я

Приказом №
Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр
непрерывного математического образования включён в перечень организаций,
осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в
образовательном процессе.

12+

© Ященко И.В., Шестаков С.А., .

ISBN ----                        ©
МЦНМО, .

Предисловие

Настоящее пособие является второй
частью модульного курса «ОГЭ по математике от А до Я» и предназначено для
подготовки к Основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике (модуль
«Геометрия», задания — первой части варианта ОГЭ по математике и задания
— второй его части). В последние годы определилась устойчивая структура
экзамена: экзаменационный вариант состоит из  заданий, каждое из которых
может быть отнесено к одному из трёх модулей: «Реальная математика», «Алгебра»,
«Геометрия». Вариант экзаменационной работы содержит как задания базового
уровня (с кратким ответом), так и задания повышенного и высокого уровней
сложности (задания с развёрнутым решением). Задания — модуля «Геометрия»
являются заданиями базового уровня, задания — —заданиями повышенного и
высокого уровней сложности.

Пособие состоит из двух частей.
Первая часть пособия содержит описание типов и особенностей заданий демоверсии
и открытого банка задач (именно на его основе формируются варианты
экзаменационной работы), методические рекомендации и примеры решения задач
модуля «Геометрия» открытого банка. Наряду с методическими рекомендациями и
большим числом разобранных примеров она включает в себя  тренингов из 
задач каждый: по два тренинга к каждому из заданий — и — ОГЭ по
математике, составляющих модуль «Геометрия», для отработки навыков их решения.

При самостоятельной работе с
пособием следует сначала прочитать методические рекомендации к соответствующему
заданию ОГЭ, затем попытаться выполнить подготовительные задания (они
составляют первый тренинг) и понять, какие задачи решены неправильно. Повторив
теоретический материал и ещё раз обратившись при необходимости к методическим
рекомендациям, следует выполнить зачётные задания (они составляют второй
тренинг). Отметим, что задания в пособии подобраны так, чтобы познакомить
читателя со всем спектром задач соответствующего модуля открытого банка ОГЭ по
математике и по окончании работы с пособием чувствовать себя на экзамене
уверенно и спокойно. Вторую часть пособия составили тренировочные варианты ОГЭ
по математике (модуль «Геометрия»).

Надеемся, что пособие окажется
полезным как выпускникам основной школы, так учителям и методистам, позволив им
лучше ориентироваться в предстоящей итоговой аттестации.



Пособие может быть использовано
для организации итогового повторения (в том числе, с начала учебного года) и
завершающего этапа подготовки к экзамену в  классе.

Авторы глубоко признательны и
благодарны О.А.Васильевой за внимательное и вдумчивое чтение рукописи,
замечания и предложения, в значительной степени способствовавшие улучшению
пособия.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике
открывает блок геометрических задач в типовом экзаменационном варианте. Это несложная
планиметрическая задача в одно-два действия, проверяющая владение базовыми
знаниями по теме «Треугольники».Для успешного решения задачи достаточно знать,
чему равна сумма углов треугольника, что такое медиана, биссектриса, высота,
средняя линия треугольника, какова связь между длинами средней линии
треугольника и параллельной ей стороны, уметь применять теорему Пифагора для
вычисления одной из сторон прямоугольного треугольника по двум другим его
сторонам, понимать, что такое равнобедренный и равносторонний треугольники, и
уметь применять их простейшие свойства к решению задач.

Напомним основные
факты, связанные с треугольниками:

•          
сумма углов треугольника равна 180^◦;

•          
внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с
нимвнутренних углов треугольника;

•          
высоты треугольника пересекаются в одной точке;

•          
биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка
является центром вписанной окружности треугольника);

•          
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересека-ются в
одной точке (эта точка является центром описанной окружности треугольника);

•          
медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, считая от вершин треугольника;

•          
средняя линия треугольника параллельна одной из его сторони равна
её половине.

Если a, b, c —
стороны треугольника, h_a, h_b, h_c —
соответственно высоты, проведённые к этим сторонам, α, β, γ —противолежащие
этим сторонам углы, r и R —соответственно радиусы вписанной

a+b+c и
описанной окружностей треугольника, p= ₂ — полупериметр треугольника, S — его
площадь,то справедливы следующие формулы:

                    1             1             1

1)  
S= 2aha= 2bhb= 2chc;

                    1                    1                    1

2)  
S= ₂absinγ= ₂bcsinα= ₂acsinβ;

abc

3)  
S= _4R
;



4)  
S=pr;

5)  
S=pp(p−a)(p−b)(p−c).

В прямоугольном треугольнике один
из катетов можно считать высотой, а другой— основанием. Поэтому площадь
прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Разумеется,
все остальные формулы площади треугольника применимы и к прямоугольному треугольнику.

Пример . Сумма длин
средних линий треугольника равна 11. Найдите периметр этого треугольника.

Рåøåíèå. Поскольку сторона
треугольника вдвое больше параллельной ей средней линии, сумма длин сторон
треугольника, т.е. его периметр, также будет вдвое больше суммы длин средних
линий этого треугольника. Поэтому искомый периметр равен 22.

Оòâåò. 22.

Пример . Один из углов
треугольника на 15^◦ больше среднего арифметического двух других его
углов. Найдите этот угол. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Пусть α, β, γ —углы
данного треугольника и

β+γ α= ₂ +15^◦.

Тогда β+γ=2α−30^◦.
Сумма углов треугольника равна 180^◦, поэтому

α+β+γ= 180^◦_,

и, следовательно,

                         α+2α−30^◦ = 180^◦_,           т.е.             3α=
210^◦ и α= 70^◦.

Оòâåò. 70.

Пример . В треугольнике ABC проведена
биссектриса AD, угол C равен 106^◦, угол CAD равен
6^◦. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

B

D

                                                   A                                   C

Рåøåíèå. Поскольку AD — биссектриса угла BAC,
он вдвое больше угла CAD, т.е. равен 12^◦. Но тогда

∠B = 180^◦ −∠BAC −∠C = 180^◦
−12^◦−106^◦ = 62^◦.

Оòâåò. 62.

                                                              Задание                                                                

Пример . В треугольнике ABC
угол A равен 46^◦, углы B и C острые, высоты
BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE.
Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Поскольку в четырёхугольнике ADOE два угла
прямые, сумма двух других углов равна 180^◦. Поэтому

∠DOE = 180^◦−∠A = 180^◦ −46^◦
= 134^◦.

Оòâåò. 134.

Особое место среди всех треугольников занимает прямоугольный
треугольник. Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора,
а синус, косинус или тангенс его острого угла можно найти как отношение катета
к гипотенузе или катета к катету. Таким образом, для прямоугольного
треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливы
следующие основные формулы:

B

 a

                                                         A          b          C

•  a²+b²=c²
— теорема Пифагора;

• 
S=ab;

•  середина
гипотенузы прямоугольного треугольника равноудаленаот его вершин, т.е. является
центром описанной окружности треуголь-

c ника,
а радиус этой окружности равен половине гипотенузы: R= ₂; a            b              a

• 
sinα= , cosα= , tgα= . c              c              b



Пример . Один из катетов
прямоугольного треугольника равен 8, а гипотенуза равна 17. Найдите второй
катет этого треугольника.

Рåøåíèå. При решении этой задачи
вполне можно обойтись без рисунка. Из теоремы Пифагора следует, что второй
катет этого треугольника равен

p17² −8² =p(17−8)(17+8) =p9·25 = 3·5 =
15.

Оòâåò. 15.

Пример . Биссектриса
прямого угла прямоугольноготреугольника образует с его гипотенузой угол 56^◦.
Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник
с гипотенузой AC, ACB — его меньший угол, а биссектриса угла ABC
пересекает гипотенузу в точке M.

B

                                              A          M                                  C

Тогда ∠BMA=56^◦.
Поскольку этот угол — внешний угол треугольника BMC, он равен сумме
углов MBC и MCB. Таким образом, ∠MCB =∠AMB−∠MBC =
56^◦−45^◦ = 11^◦.

Оòâåò. 11.

Пример . Высота BH прямого угла прямоугольного
треугольника

ABC делит
его гипотенузу на отрезки AH=2 и CH=8. Найдите длину этой высоты.

Рåøåíèå. Обозначим острые углы A
и C данного треугольника через α и γ соответственно.
Так как эти углы дополняют друг друга до 90^◦, получаем также, что ∠ABH
=γ, ∠CBH =α. Для решения задачи можно воспользоваться
подобием треугольников ABH и BCH, откуда

BH          AH

= , либо тригонометрическими функциями острых углов пря-

CH           BH моугольного треугольника:

                                                                      BH        CH

tgα= = .

                                                                      AH        BH

В любом случае получаем, что

BH² = AH ·CH

(квадрат высоты
прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению
отрезков, на которые она делит гипоте-

                                                              Задание                                                                

нузу), откуда BH²=2·8=16 и
BH=4.

B

Оòâåò. 4.

Пример . В треугольнике ABC угол C равен
90^◦, sin A =, AC=10. Найдите BC.

A

                                                      C                               B

Рåøåíèå. Задачу можно решить несколькими способами, напри-

BC 12 мер, так. Поскольку sin A = AB = ₁₃, можно считать, что BC = 12x_,

AB= 13x.
По теореме Пифагора (12x)²+ 10²= (13x)²,
откуда x = 2, и, следовательно, BC=24.

Оòâåò. 24.

Важным частным случаем
треугольника является также равнобедренный треугольник. В таком
треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, является
медианой и биссектрисой, поэтому именно на ней находятся центры вписанной и
описанной окружностей этого треугольника. Частный случай равнобедренного
треугольника— равносторонний треугольник. В нём уже каждая высота
является медианой и биссектрисой, поэтому центры вписанной и описанной
окружностей совпадают и R=2r.

Пример . Найдите угол C
треугольника ABC, если AB = BC, а внешний угол при
вершине B равен 76^◦. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Внешний угол треугольника
равен сумме внутренних не смежных с ним углов. Поэтому сумма углов при
основании данного равнобедренного треугольника равна 76^◦, а каждый
из них равен половине этой величины, т.е. 38^◦.

Оòâåò. 38.

Пример . Найдите периметр
равностороннего треугольника,если одна из его средних линий равна 25.



Рåøåíèå. Поскольку все стороны
равностороннего треугольника равны и каждая из них вдвое больше его средней
линии, длина стороны данного равностороннего треугольника будет равна 50, а его
периметр— 150.

Оòâåò. 150.

Пример . Найдите высоту
равнобедренного треугольника, проведённую к его основанию, если боковые стороны
треугольника равны 25, а основание равно 14.

Рåøåíèå. Высота равнобедренного
треугольника, проведённая к его основанию, является и его медианой и,
следовательно, делит основание пополам. Поэтому длину высоты можно найти как
длину катета прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25, а
второй катет равен 7. Получим, что в силу теоремы Пифагора искомая

длина равна p25²
−7²=24.

Оòâåò. 24.

Пример . В треугольнике ABC
известно, что AB=BC, AC =15, высота CH равна 12.
Найдите синус угла ACB.

Рåøåíèå. Поскольку∠ACB=∠CAB, синусы этих углов
также равны:

                                                                                 CH        12

sin∠ACB = sin∠CAB = AC = ₁₅ = 0,8.

Оòâåò. 0_,8.

Подготовительныезадачи

1.        
В треугольнике два угла равны 27^◦ и 79^◦.
Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

2.        
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 43^◦.
Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

3.        
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC
=104^◦. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

B

A                                                    
C

4.        
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=62^◦,
AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

B

A                                                    
C

5.        
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите
гипотенузу этого треугольника.

6.        
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20
соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

7.        
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой
стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

8.        
Точки M и N являются серединами сторон AB и
BC треугольника ABC, сторона AB равна 21, сторона BC равна
22, сторона AC равна 28. Найдите MN.

B

A                                                    
C



9.        
Сторона равностороннего треугольника равна 16p3. Найдите
медиану этого треугольника.

10.      Биссектриса
равностороннего треугольника равна 15p3. Найдите сторону этого треугольника.

Зачётныезадачи

1.        
В треугольнике два угла равны 36^◦ и 73^◦.
Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

2.        
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 18^◦.
Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

3.        
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC
=128^◦. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

B

A                                                           
C

4.        
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=68^◦,
AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

B

                                                       A                             C

5.        
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите
гипотенузу этого треугольника.

6.        
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34
соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

7.        
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой
стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.

8.        
Точки M и N являются серединами сторон AB и
BC треугольника ABC, сторона AB равна 28, сторона BC равна
19, сторона AC равна 34. Найдите MN.

B

A                                                           
C



9.        
Сторона равностороннего треугольника равна ^[1]p3.
Найдите медиану этого треугольника.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике
представляет собой задачу, связанную с окружностями и их элементами. Приведём
основные факты по теме «Окружность и круг»:

•          
центральный угол окружности измеряется дугой этой окружно-сти, на
которую он опирается;

•          
вписанный угол окружности равен половине центрального углаи
измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

•          
вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, ра-вен 90^◦;

•          
касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой
окруж-ности, проведённому в точку касания;

•          
отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точ-ки,
равны;

•          
центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе это-го
угла;

•          
угол между двумя секущими к окружности, пересекающимисявнутри
окружности, равен полусумме дуг, высекаемых на окружности вертикальными углами,
образованными этими секущими;

•          
угол между двумя секущими к окружности, пересекающимисявне
окружности, равен полуразности дуг, высекаемых на окружности углом,
образованным этими секущими;

•          
две окружности не имеют общих точек в том и только том слу-чае,
если расстояние между их центрами больше суммы радиусов этих окружностей или
меньше разности большего и меньшего радиусов;

•          
две окружности имеют ровно две общие точки (пересекаютсяв двух
точках) в том и только том случае, если расстояние между их центрами меньше
суммы радиусов этих окружностей, но больше разности большего и меньшего
радиусов;

•          
две окружности имеютровно одну общую точку (касаются) в томи
только том случае, еслирасстояние между их центрами равно сумме радиусов этих
окружностей (внешнее касание) либо равно разности большего и меньшего радиусов
этих окружностей (внутреннее касание);

•          
длина окружности равна 2πr, где r — радиус окружности;

•          
площадь круга равна πr², где r —радиус
круга.

                                                           Задание 

Пример . Окружность
пересекает стороны угла величиной 33^◦ с вершиной C в точках A,
E, D и B, как показано на рисунке. Найдите угол ADB,
если угол EAD равен 22^◦. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Рассмотрим треугольник ACD. Угол ADB является
для него внешним при вершине D, значит, он равен сумме двух других углов
треугольника, не смежных с ним:

∠ADB =∠C+∠EAD = 33^◦+22^◦ =
55^◦.

Оòâåò. 55.

Пример . Точки A, B, C и D,
последовательно расположенные на окружности в указанном порядке, делят её на
четыре дуги, градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга AB наименьшая).
Найдите градусную меру дуги BD, содержащей точку C.

Рåøåíèå. Обозначим градусную меру дуги AB через x.
Тогда градусные меры дуг BC, CD и DA равны соответственно 2x,7x
и 8x. В сумме эти четыре дуги составляют окружность. Поэтому

x+2x+7x+8x = 18x = 360^◦_,

откуда x=20^◦.
Тогда                  BD=2x+7x=9x=180^◦.

Оòâåò. 180.

Пример
. Длина окружности равна 6pπ. Найдите площадь круга, ограниченного
этой окружностью.



Рåøåíèå. Обозначим
радиус окружности через r. Длина окружно-

                                                                   3                                                                     3

сти равна 2πr=6pπ, откуда r=
p_π. Площадь круга
радиуса r= p_π

                 ²                     3      2

равна πr =πp_π =9.

Оòâåò. 9.

Пример . Расстояние от
центра окружности до хорды длиной 30 равно 8. Найдите радиус окружности.

Рåøåíèå. Пусть AB — данная хорда окружности с центром
O. Тогда OA = OB = R. Поскольку треугольник OAB равнобедренный,
его высота OH (которая является также медианой и биссектрисой) и будет
расстоянием от центра окружности до хорды. Значит, OH=8, AH =15,
а искомый радиус OA находится по теореме Пифагора для

треугольника OHA и
будет равен pOH²+ AH²⁼p64+225=17.

Оòâåò. 17.

Пример . Центральный угол
на 43^◦ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу
окружности.

а) Найдите
вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

б) Найдите
центральный угол. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Обозначим градусную меру
вписанного угла через x, тогда градусная мера центрального угла,
опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол, будет равна 2x. По
условию 2x=x+43, откуда x=43, а 2x=86.

Оòâåò. а) 43; б) 86.



Пример . Окружность с центром O₁ и
радиусом p8 проходит через центр O₂ второй окружности и
пересекает эту окружность в точках A и B. Найдите радиус второй
окружности, если известно, что точка O₁ лежит на отрезке AB.

Рåøåíèå. Несмотря на достаточно
длинное условие, задача является довольно простой. Обозначим радиус первой
окружности через r, радиус второй окружности через R и рассмотрим
равнобедренный треугольник AO₂B с боковыми сторонами AO₂=O₂B=R.
Из усло-

вия следует, что O₁A=O₁B=O₁O₂=r,
откуда R=rp2=p8·p2=4.

Оòâåò. 4.

Приведём основные факты, связанные
с окружностью, вписанной в треугольник:

•          
в любой треугольник можно вписать окружность и притом толь-ко
одну;

•          
центром вписанной окружности треугольникаявляется точка
пе-ресечения его биссектрис;

•          
радиус вписанной окружности равностороннего треугольникаравен
одной трети его биссектрисы (напомним, что она же является медианой и высотой
равностороннего треугольника);

•          
площадь S треугольника равна произведению полупериметра p
этого треугольника на радиус r вписанной окружности этого тре-

угольника: S=pr.

Пример . Найдите радиус
окружности, вписанной в равносторонний треугольник, одна из медиан которого
равна 15.

Рåøåíèå. В равностороннем
треугольнике все медианы равны и являются также биссектрисами и высотами.
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен трети его
биссектрисы и в данном случае равен 5.

Оòâåò. 5.

Пример . Расстояние от вершины A равнобедренного
треугольника ABC до центра O вписанной в него окружности равно 29,
а дли

на основания AC
треугольника равна 42. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.

Рåøåíèå. Пусть BH
— медиана, высота и биссектриса данного равнобедренноготреугольника.Тогда O∈BH,
AO=29, AH =21 и искомый радиус OH можно найти по теореме
Пифагора для треугольника AOH.

Получим OH=pAO²− AH²=p29²
−21²=20.

Оòâåò. 20.

Напомним основные факты, связанные
с окружностью, описанной около треугольника:

•          
около любого треугольника можно описать окружность и при-том
только одну;

•          
центром описанной окружности треугольника является
точкапересечения серединных перпендикуляров к его сторонам;

•          
радиус описанной окружности равностороннего треугольникаравен
двум третям его высоты (напомним, что она же является медианой и биссектрисой
равностороннего треугольника);

•          
центром описанной окружности прямоугольного треугольникаявляется
середина его гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы;

abc

•          
площадь S треугольника может быть найдена по формуле S=
_4R , где
a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус
описанной окружности треугольника.

Пример . Найдите угол при
вершине B равнобедренного треугольника ABC с основанием AC,
если сторона AB треугольника стягивает дугу описанной около него
окружности, равную 130^◦.



Рåøåíèå. По условию стороны AB и BC равны,
значит, они стягивают равные дуги. Но тогда градусная величина дуги AC,
не содержащей точки B, будет равна

360^◦ −2·130^◦ = 100^◦.

Вписанный угол ABC
равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен 50^◦.

Оòâåò. 50.

Пример . Найдите радиус
окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40.

Рåøåíèå. Поскольку центром
описанной окружности прямоугольного треугольника является середина его
гипотенузы, а радиус R окружности равен половине гипотенузы, для решения
задачи достаточно с помощью теоремы Пифагора найти длину гипотенузы и поделить
её на 2. Получим

1

R = ₂p9²+40² = ·41 = 20_,5.

Оòâåò. 20_,5.

Пример . Медиана BM треугольника
ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её
середине. Длина стороны AC равна 7. Найдите радиус описанной окружности
треугольника ABC.

Рåøåíèå. Пусть K — середина
BC. Тогда угол BKM прямой (как вписанный угол, опирающийся на
диаметр). Значит, MK является медианой и высотой треугольника BMC.
Поэтому треугольник BMC равнобедренный. Следовательно, MB=MC=MA,
и точка M —центр описанной окружности треугольника ABC, радиус
которой равен MC = 0_,5AC
= 3_,5.

Оòâåò. 3_,5.

Напомним основные факты, связанные
с окружностью, вписанной в четырёхугольник:

•          
в четырёхугольник можно вписать окружность (и притом толькоодну)
в том и только том случае, если суммы его противоположных сторон равны;



•          
центром вписанной окружности четырёхугольника является точка
пересечения биссектрис его углов:

•          
в параллелограмм можно вписать окружность, только если онявляется
ромбом;

•          
в любой ромб (а значит, и в квадрат) можно вписать
окружность;центром этой окружности является точка пересечения диагоналей ромба;

•          
радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине сторо-ны
квадрата;

•          
если в трапецию можно вписать окружность, то диаметр
этойокружности равен высоте трапеции;

•          
площадь S четырёхугольника, в который можно вписать
окружность (описанного четырёхугольника), равна произведению полупериметра p
этого четырёхугольника на радиус r вписанной окружности этого
четырёхугольника:

S = pr.

Пример . Найдите периметр
трапеции, в которую вписана окружность, если средняя линия трапеции равна 33.

Рåøåíèå. По свойству описанного
четырёхугольника сумма оснований данной трапеции равна сумме её боковых сторон.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит, сумма оснований равна
66, как и сумма боковых сторон. Следовательно, периметр трапеции равен

66+66 = 132.

Оòâåò. 132.

Укажем теперь основные факты,
связанные с окружностью, описанной около четырёхугольника:

•          
около четырёхугольника можно описать окружность (и притомтолько
одну) в том и только том случае, если суммы его противоположных углов равны
(т.е. каждая из этих сумм равна 180^◦);

•          
центром описанной окружности четырёхугольника является точка
пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам:

•          
около параллелограмма можно описать окружность, только еслион
является прямоугольником;

•          
около любого прямоугольника (а значит, и квадрата) можно опи-сать
окружность; центром этой окружности является точка пересечения диагоналей
прямоугольника, а её радиус равен половине диагонали прямоугольника;

•          
около трапеции можно описать окружность в том и только томслучае,
если она равнобедренная.



Пример . Два угла
вписанного в окружность четырёхугольника равны 67^◦ и 89^◦.
Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Поскольку сумма противоположных углов вписанного в
окружность четырёхугольника равна 180^◦, меньший из двух других его
углов равен 180^◦ −89^◦=91^◦.

Оòâåò. 91.

Подготовительныезадачи

1.        
Центр окружности, описанной около треугольника ABC,
лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 13. Найдите AC, если
BC=24.

2.        
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты
точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36^◦. Найдите
угол NMB. Ответ дайте в градусах.

3.        
Отрезки AC и BD —диаметры окружности с центром
в точке O. Угол ACB равен 79^◦. Найдите угол AOD.
Ответ дайте в градусах.

4.        
В угол C величиной 83^◦ вписана окружность,
которая касается сторон угла в точках A и B, точка O —центр
окружности. Найдите 

угол AOB.
Ответ дайте в градусах.

5.        
Касательные в точках A и B к окружности с
центром в точке O пересекаютсяпод углом72^◦. Найдите угол ABO.
Ответ дайтев градусах.

6.        
Окружность с центром в точке O описана около
равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC
=125^◦. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

7.        
В треугольнике ABC известно, что AC =20, BC =21,
угол C равен 90^◦. Найдите радиус описанной около этого
треугольника окружности.

                                               Подготовительные задачи                                               

8.        
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен
70^◦, угол CAD равен 49^◦. Найдите угол ABD.
Ответ дайте в градусах.

9.        
На окружности с центром в точке O отмечены точки A и
B так, что ∠AOB= 66^◦. Длина меньшей дуги AB равна
99. Найдите длину большей дуги AB.

10.      Найдите
площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Зачётныезадачи

1.        
Центр окружности, описанной около треугольника ABC,
лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20_,5. Найдите BC,
если AC=9.

2.        
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты
точки M и N. Известно, что ∠NBA = 43^◦. Найдите
угол NMB. Ответ дайте в градусах.

3.        
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром
в точке O. Угол ACB равен 16^◦. Найдите угол AOD.
Ответ дайте в градусах.

4.        
В угол C величиной 40^◦ вписана окружность,
которая касается сторон угла в точках A и B, точка O —
центр окружности. Найдите

                                                       Зачётные задачи                                                        

угол AOB.
Ответ дайте в градусах.

5.        
Касательные в точках A и B к окружности с
центром в точке O пересекаются под углом 52^◦. Найдите угол ABO.
Ответ дайте в градусах.

6.        
Окружность с центром в точке O описана около
равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC
=107^◦. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

7.        
В треугольнике ABC известно, что AC=7, BC=24,
угол C равен 90^◦. Найдите радиус описанной около этого
треугольника окружности.

B

                                                                 A        C

                                                             Задание 

8.        
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен
134^◦, угол CAD равен 81^◦. Найдите угол ABD.
Ответ дайте в градусах.

9.        
На окружности с центром в точке O отмечены точки A и
B так, что ∠AOB=140^◦. Длина меньшей дуги AB равна
98. Найдите длину большей дуги AB.

10.      Найдите
площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике
представляет собой задачу по теме «Четырёхугольники». Напомним свойства и
теоремы, связанные с четырёхугольниками, изучаемыми в основной школе.

Сначала приведём основные факты,
связанные с параллелограммом:

•          
противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны;•
сумма углов параллелограмма равна 360^◦;

•          
сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной из
егосторон, равна 180^◦;

•          
диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересече-ния
делятся пополам.

Пусть a и b — длины двух смежных сторон
параллелограмма, h_a и h_b —соответственно
высоты, проведённые к этим сторонам, γ — угол между этими сторонами, S
—площадь параллелограмма. Основные формулы для вычисления площади
параллелограмма:

                                             S = ah_a
= bh_b;           S = absinγ.

Кроме того, для параллелограмма,разумеется, справедлива и
формула площади произвольного выпуклого четырёхугольника: если d₁ и
d₂ — длины диагоналей выпуклого четырёхугольника, γ —
угол между ними, то площадь S этого четырёхугольника равна
полупроизведению диагоналей четырёхугольника на синус угла между ними, т.е.

1 S =
₂d₁d₂sinγ.

Пример . Диагональ параллелограмма образует с двумя
его сторонами углы 110^◦ и 10^◦. Найдите меньший угол
параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

                                                   B                              C

                                                         A                              D

Рåøåíèå. Рассмотрим
параллелограмм ABCD, в котором ∠BAC = =110^◦, ∠CAD=10^◦.
Тогда ∠BAD=∠BAC +∠DAC =110^◦+10^◦=120^◦,
Следовательно, ∠ABC =180^◦ −120^◦=60^◦.
Значит, меньший угол параллелограмма равен 60^◦.

Оòâåò. 60.



Пример . В параллелограмме
ABCD угол A острый и sin A=0_,8. Вычислите 6tgB.

Рåøåíèå. Поскольку sin A = 0_,8 и угол A острый,
получим, что

₂              sin A        0,8           4 cos A=p1−(0,8)
=0,6, а tg A= _{cos A}
= ₀,6 = ₃. Углы A и B прилежат
к одной стороне параллелограмма, поэтому их сумма равна 180^◦. Но
тогда

6tgB = 6tg(180^◦−∠A) = −6tg A =
−6· 3⁴ = −8.

Оòâåò. −8.

Пример . Найдите площадь
параллелограмма ABCD, в котором AB=13, AD=5, BD=12.

Рåøåíèå. Задачу можно решать
разными способами. По следствию теоремы косинусов для треугольника ABD можно
найти косинус угла A, затем его синус, после чего вычислить площадь
параллелограмма как произведение двух сторон на синус угла между ними. А можно
заметить, что 5² + 12² = 169 = 13² и, значит, AB²
= AD² + BD². Тогда по теореме,
обратной теореме Пифагора, треугольник ABD прямоугольный с прямым углом D,
т.е. диагональ BD параллелограмма является его высотой. Поэтому площадь S
параллелограмма находится по формуле S= AD·BD=5·12=60.
Оòâåò. 60.

Пример . Стороны
параллелограммаравны 12 и 18, а одна из высот равна 2. Найдите площадь параллелограмма,
если известно, что другая его высота меньше 2.

Рåøåíèå. Пусть h — вторая высота параллелограмма, S
—его площадь. Тогда либо S=12h=18·2=36, откуда h=3>2,
либо S=18h=

4

=12·2=24, откуда h= ₃ <2. Условию
задачи удовлетворяет только

h=, поэтому S=24.

Оòâåò. 24.

Важнейшими частными случаями
параллелограммаявляются прямоугольник, ромб, квадрат. Они обладают всеми
свойствами парал-

                                                           Задание                                                             

лелограмма, но для
них справедливы и некоторые дополнительные свойства, которыми произвольные
параллелограммы не обладают:

• диагонали
прямоугольника (а значит, и квадрата) равны; • диагоналиромба (азначит, и
квадрата) взаимно перпендикулярны.

Площадь S прямоугольника
равна произведению двух его смежных сторон a и b, т.е. S =
ab. Площадь S квадрата равна квадрату его стороны a, т.е. S=a².
Для вычисления площадей прямоугольника и ромба можно использовать формулу
площади выпуклого четырёхугольника. Поскольку диагонали d₁ и d₂
ромба взаимно перпендикулярны, из последней следует, что площадь ромба
равна полупроизве-

1 дению его диагоналей: S= ₂d₁d₂.

Пример . Диагональ прямоугольника образует с одной
из его сторон угол 12^◦. Найдите угол между прямыми, содержащими
диагонали этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

                                            B                                                   C

                                            A                                                   D

Рåøåíèå. Пусть ABCD —
данный прямоугольник, O —точка пересечения его диагоналей, и пусть ∠CAD
= 12^◦. Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой
пересечения делятся пополам, треугольник AOD равнобедренный, причём ∠ODA=∠OAD=12^◦.
Значит, ∠AOD тупой и не может быть углом между прямыми (напомним, что
угол между двумя прямыми— меньший из вертикальных углов, образуемых при их
пересечении, поэтому он не превосходит 90^◦). Следовательно, искомый
угол равен внешнему углу треугольника AOD (например, углу AOB) и,
значит, равен сумме внутренних не смежных с ним углов, т.е. сумме ∠ODA+∠OAD=24^◦.

Ответ: 24.

Пример . В ромбе ABCD угол
A равен 44^◦. Из вершины B проведена высота BH к
стороне AD. Найдите угол HBD. Ответ дайте в градусах.

B

A  C

H

D



Рåøåíèå. В ромбе все стороны равны,
значит, треугольник BAD равнобедренный и ∠ABD=∠ADB= 180^◦₂−^44◦ =68^◦.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Острый угол HDB в нём
равен 68^◦, значит, угол HBD равен 22^◦.

Оòâåò. 22.

Пример . Диагональ квадрата равна 7p2. Найдите его
площадь.

Рåøåíèå. Диагональ квадрата в p2 раз
больше его стороны, значит, сторона этого квадрата равна 7, а площадь квадрата
равна 49.

Ответ: 49.

Пример . Найдите площадь ромба, если его диагональ
равна 24, а сторона равна 13.

B

A  C

D

Рåøåíèå. Пусть ABCD —данный
ромб, O — точка пересечения его диагоналей, и пусть AB=BC=CD=
AD=13, AC=24. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой
пересечения делятся пополам. Поэтому AO=12, а треугольник AOB прямоугольный.
Из теоремы Пифагора для этого треугольника находим

BO =pAB²− AO² =p13²
−12² = 5.

Тогда BD=10, а площадь S ромба
находится как половина произведения его диагоналей:

                                                 1                      1

S = ₂ AC ·BD = ₂ ·24·10 = 120.

Оòâåò. 120.

Трапеция является более сложным
четырёхугольником по сравнению с параллелограммом, поскольку у неё параллельны
только две стороны (основания трапеции), а две другие не параллельны (боковые
стороны трапеции).

Трапеция, у которой одна из
боковых сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной; трапеция,
боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (диагонали такой
трапеции равны, углы при любом из оснований также равны).

Средняя линия трапеции параллельна
её основаниям и равна их полусумме.

                                                           Задание                                                             

Пример . Сумма трёх углов равнобедренной трапеции
равна 222^◦. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. Сумма
всех углов трапеции равна 360^◦, значит, её четвёртый угол равен 360^◦−222^◦=138^◦.
Угол, прилежащий к той же боковой стороне, что и найденный, равен 180^◦ −138^◦=42^◦.
Два оставшихся угла также равны 138^◦ и 42^◦, поскольку в
равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию, равны. Значит, искомый
угол этой трапеции равен 42^◦.

Оòâåò. 42.

Пример
. Найдите острый угол прямоугольной трапеции, основания которой равны 18 и
9 и меньшая боковая сторона равна 9. Ответ дайте в градусах.

Рåøåíèå. В любой прямоугольной
трапеции два угла прямые, один тупой, и один острый. Рассмотрим прямоугольную
трапецию ABCD, в которой AB = AD = 9, CD = 18.
Искомый угол — угол C. Проведём высоту BH. Она равна AD и
равна 9. Тогда DH = AB = 9

(как противоположные стороны прямоугольника ABHD),
и, значит, CH=CD−DH=9. Но тогда в прямоугольном
треугольнике BHC катеты равны, значит, это равнобедренный прямоугольный
треугольник, и угол C равен 45^◦.

Оòâåò. 45.

Пример
. Основания трапеции относятся как 1:3, а средняя линия равна 16. Найдите
большее основание этой трапеции. Рåøåíèå. Пусть основания трапеции равны a и
b, причём a=3b. a+b                3b+b

Тогда её
средняя линия равна                                   ₂ = ₂ = 2b = 16,
откуда b = 8.

Значит, a=24.

Оòâåò. 24.

Пример . Основания
трапеции относятся как 2 : 5. Диагональ делит трапецию на два треугольника,
площадь меньшего из которых равна 4. Найдите площадь трапеции.

Рåøåíèå. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD
и BC, считая, что AD : BC=5:2. Диагональ AC делит
трапецию на два треугольника, имеющих общую высоту —высоту трапеции. Значит, их


площади относятся как основания, к которым
проведена эта высота, т.е. как основания трапеции. При этом треугольник меньшей
площа-

S^ACD ди будет иметь меньшее основание.
Тогда S_ABC =4, _SABC =
, откуда

5

SACD = 2SABC =10. Следовательно, SABCD =SABC +SACD =14.

Оòâåò. 14.

Подготовительныезадачи

1.        
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с
его сторонами углы, равные 65^◦ и 80^◦. Найдите меньший
угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

                                                                     B                            C

                                          A                            D

2.        
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

                                                                              

3.        
Диагональ прямоугольника образует угол 47^◦ с одной
из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Ответ дайте в градусах.

4.        
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 6.

5.        
Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30^◦.
Найдите площадь этого ромба.



6.        
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50^◦.
Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

7.        
В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA
= 38^◦ и ∠BDC=32^◦. Найдите угол ABD.
Ответ дайте в градусах.

                                                              B                C

                                                       A                              D

8.        
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C,
делит основание AD на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания BC.

                                                               B               C

                                                        A                             D

9.        
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание
и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.



10.      Основания
трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Зачётныезадачи

1.        
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с
его сторонами углы, равные 45^◦ и 25^◦. Найдите больший
угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

                                                                  B                C

A                                            
D

2.        
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

                                                                            

3.        
Диагональ прямоугольника образует угол 51^◦ с одной
из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Ответ дайте в градусах.

4.        
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.

5.        
Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30^◦.
Найдите площадь этого ромба.



6.        
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102^◦.
Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

7.        
В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA
= 40^◦ и ∠BDC=24^◦. Найдите угол ABD.
Ответ дайте в градусах.

                                                                 B           C

A                                            
D

8.        
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C,
делит основание AD на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания BC.

                                                                  B         C

A                                            
D

9.        
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание
и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.



10.      Основания
трапеции равны 17 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике
представляет собой задачу по планиметрии на вычисление по готовому чертежу,
изображённому на клетчатой бумаге. Данные в таких задачах даются в виде чертежа
на бумаге в клетку, причём размеры клеток одинаковы и заданы условием. Это
задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми
в школьном курсе фигурами. Клетки в таких задачах по сути выполняют роль
линейки: посчитав «по клеточкам» необходимые длины и используя известные
геометрические факты и свойства, можно довольно быстро получить ответ на вопрос
задачи. К этим задачам вплотную примыкают задания на вычисление элементов
плоских фигур по готовому чертежу, на котором указаны координаты некоторых
точек фигуры (например, вершин треугольника или четырёхугольника), позволяющие
после выполнения несложных вычислений ответить на вопрос задачи. При этом, как
правило, не требуется применения дополнительных формул метода координат.

Пример . Найдите
площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см×1
см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рåøåíèå.
Длина стороны треугольника, расположенной на вертикальной линии сетки, равна 4 см,
а длина проведённой к ней высоты (заметим, что основание высоты будет
расположено на продолжении указанной стороны) равна 5 см. Поэтому искомая
площадь равна

0_,5·4·5
= 10 см².

Оòâåò. 10.

                                                             Задание 

Пример . Найдите площадь
квадрата, изображённого на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.

Рåøåíèå. Площадь квадрата равна
квадрату его стороны, а квадрат стороны в данном случае можно найти по теореме
Пифагора, он будет равен 2²+1², т.е. 5.

Оòâåò. 5.

Пример . Найдите площадь трапеции, изображённой на
рисунке.

Рåøåíèå. Основания трапеции равны 4 и 8, высота равна 8. По-

1 этому
искомая площадь равна ₂(4+8)·8=48. Оòâåò. 48.

Пример . На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхугольник. Найдите его
площадь.

Рåøåíèå.
Диагонали изображённого на рисунке четырёхугольника взаимно перпендикулярны, их
длины равны 5 и 6. Поэтому площадь четырёхугольника будет равна половине
произведения его диагоналей:  ·5·6=15.

Оòâåò. 15.

                                                           Задание                                                             

В некоторых случаях подобные
задачи можно решать, разбивая данную фигуру на прямоугольные треугольники и
прямоугольники, площади которых легко вычислить:

Если четырёхугольник не является
выпуклым или если угол между его диагоналямиотличен от прямого, но его вершины
являются линиями сетки, можно дополнить этот четырёхугольник до прямоугольника,
проведя через его вершины прямые по линиям сетки. После этого из площади
полученного прямоугольника нужно вычесть площади «дополняющих» фигур, которыми
будут прямоугольные треугольники и прямоугольники. Эту же идею можно
использовать и при вычислении площадей треугольников с вершинами в узлах сетки,
если стороны треугольника не лежат на линиях сетки:

Пример . Найдите площадь
треугольника, изображённого на рисунке.

Рåøåíèå. Применим идею, о которой
говорилось выше: дополним данный треугольник до прямоугольника, проведя через
его вершины прямые, параллельные координатным осям:

                                                             Задание 

Искомая площадь S равна разности площади полученного
прямоугольника и суммы площадей прямоугольных треугольников, отмеченных цифрами
I, II и III и дополняющих данный треугольник до прямоугольника:

                                      1                  1                  1

S = 12·20−2 ·12·6+
₂ ·14·9+ ₂ ·20·3= 240−129 = 111.

Оòâåò. 111.

Теперь рассмотрим задачу на применение формулы площади круга.

Пример . Найдите
площадькольца, изображённогона рисунке, если площадь круга, ограниченного
большей окружностью, равна 132.

Рåøåíèå. Радиусы кругов отличаются
в два раза: у внутреннего радиус равен 2 клеткам, а у внешнего — 4. Значит,
площадь меньшего

132 круга меньше площади большего в 4 раза, то есть равна ₄ =33. Площадь
заштрихованной области равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов: 132−33=99.

Оòâåò. 99.

В заключение рассмотрим задачу на
вычисление тангенса угла, изображённого на бумаге в клетку.

                                                           Задание                                                             

Пример . Найдите тангенс
угла, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1.

Рåøåíèå. Если построить
прямоугольный треугольник, каждый из катетов которого измеряется целым числом
деленийсетки, так, чтобы данный угол был острым углом этого треугольника, то
решить задачу удастся без труда. Для этого достаточно на «наклонной» стороне
угла выбрать точку, являющуюся пересечением горизонтальной и вертикальной линий
сетки (такие точки называют узлами сетки). Выберем одну из них, обозначим её
буквой B, опустим из неё перпендикуляр BH на
«горизонтальную»сторону угла, а вершину угла обозначим буквой A.

Искомый тангенс равен отношению противолежащегокатета к при-

                                              BH       6

лежащему: tg∠BAH
= HA = ₄ =1_,5.

Оòâåò. 1_,5.

Подготовительныезадачи

1.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его меньшего катета.

2.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.
Найдите длину его меньшей диагонали.

3.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки:
A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины
отрезка BC.

                                               Подготовительные задачи                                               

4.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

5.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

7.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.

                                                             Задание 

8.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

9.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь.

10.     
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура.
Найдите её площадь.

Зачётныезадачи

1.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб.
Найдите длину его большей диагонали.

2.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его меньшего катета.

3.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три точки:
A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины
отрезка BC.

4.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён
треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной сто-

                                                             Задание 

роне AC.

5.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.

7.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.

                                                      Зачётные задачи                                                       

8.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.

9.        
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь.

10.     
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура.
Найдите её площадь.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике
заключается в выборе одного или нескольких верных утверждений из множества
данных (в настоящее время —из трёх данных). В большинстве случаев правильный
ответ на вопрос задачи связан со знанием простейших геометрических фактов и
утверждений. Такие задачи позволяют организовать экспрессповторение большинства
определений и теорем школьного курса геометриис целью быстрой диагностики
имеющихся пробеловв знаниях и последующего устранения этих пробелов. В качестве
примеров рассмотрим чуть более сложные задания на выбор верных утверждений из
шести данных.

Пример . Укажите в порядке возрастания без пробелов,
запятых и прочих дополнительных символов номера верных утверждений.

1)        
Существует прямоугольник, диагонали которого различны.

2)        
В любом прямоугольнике диагонали равны.

3)        
Существует ромб, диагонали которого различны.

4)        
В любом ромбе диагонали равны.

5)        
Существует трапеция, диагонали которой различны. 6) В любой
трапеции диагонали равны.

Рåøåíèå. По свойству
прямоугольника второе утверждение является верным, а первое —нет. Аналогично из
оставшихся утверждений верными являются 3 и 5.

Оòâåò. 235.

Пример . Укажите в порядке
возрастания без пробелов, запятых и прочих дополнительных символов номера
верных утверждений.

1) Существует
выпуклый четырёхугольник, все углы которого острые. 2) В любом выпуклом
четырёхугольнике все углы острые.

3)        
Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого прямые.

4)        
В любом выпуклом четырёхугольнике все углы прямые.

5)        
Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого тупые. 6) В
любом выпуклом четырёхугольнике все углы тупые.

Рåøåíèå. Первое утверждение не
является верным, поскольку сумма любых четырёх острых углов меньше 360^◦ —
суммы углов выпуклого четырёхугольника. Второе утверждение не является верным,
пример — квадрат. Третье утверждение является верным, пример —прямоугольник.
Четвёртое утверждение не является верным, пример — трапеция. Пятое утверждение
не является верным, поскольку сумма

                                                            Задание                                                            

любых четырёх
тупых углов больше 360^◦ —суммы углов выпуклого четырёхугольника. По
этой же причине не является верным и шестое утверждение.

Оòâåò. 3.

Подготовительныезадачи

1. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.

2)  
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм
является ромбом.

3)   Расстояние от
точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

2. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Вертикальные углы равны.

2)  
Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса
другой окружности.

3)   Диагонали
трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

3. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

2)  
В параллелограмме есть два равных угла.

3)   Боковые стороны
любой трапеции равны.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

4. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения
пополам.

2)  
Площадь параллелограмма равна половине произведения его
диагоналей.

3)   Вписанный угол,
опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответе запишите номер выбранного
утверждения.

5. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

2)  
Боковые стороны любой трапеции равны.

3)   Сумма углов
равнобедренного треугольника равна  градусам.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

                                               Подготовительные задачи                                              

6. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Треугольника со сторонами  см,  см,  см не существует.

2)  
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

3)   Все диаметры
окружности равны между собой.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

7. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри
этого треугольника.

2)  
В параллелограмме есть два равных угла.

3)   Сумма углов
любого треугольника равна  градусам.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

8. Какие из следующих утверждений
верны?

1)        
Любые два равносторонних треугольника подобны.

2)        
В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Все
диаметры окружности равны между собой.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

9. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2)  
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот
параллелограмм является ромбом.

3)   Все диаметры
окружности равны между собой.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

10. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

2)  
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в
точку касания.

3)   Сумма острых
углов прямоугольного треугольника равна  градусам.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

Зачётныезадачи

1. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

2)  
Если в ромбе один из углов равен  градусам, то этот ромб
является квадратом.

3)   Расстояние от
точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

2. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2)  
Все углы ромба равны.

3)   Треугольник со
сторонами , ,  существует.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

3. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Смежные углы всегда равны.

2)  
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его
высотой.

3)   Существует
прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

4. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Основания любой трапеции параллельны.

2)  
Диагонали ромба равны.

3)   Точка
пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

5. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2)  
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

3)   Длина
гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

                                                       Зачётные задачи                                                      

6. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

2)  
Все углы прямоугольника равны.

3)   Существуют три
прямые, которые проходят через одну точку.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

7. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
перпендикулярную этой прямой.

2)  
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны
сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3)   Смежные углы
всегда равны.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

8. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны
сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

2)  
Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус
угла между ними.

3)   Смежные углы
всегда равны.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

9. Какие из следующих утверждений
верны?

1)  
В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

2)  
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в
точку касания.

3)   Площадь ромба
равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

В ответе запишите номера выбранных
утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных
символов.

10. Какое из следующих утверждений
верно?

1)  
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри
этого треугольника.

2)  
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

3)   Диагонали ромба
точкой пересечения делятся пополам.

В ответе запишите
номер выбранного утверждения.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике открывает условный блок из трёх
геометрических задач с развёрнутым решением, традиционно представленных в
качестве трёх последних заданий ОГЭ по математике. Это планиметрическая задача
на вычисление, для решения которой нужно достаточно свободно ориентироваться в
материале школьного курса планиметрии, в его теоремах, связанных с треугольниками,
многоугольниками (преимущественно с параллелограммами и трапециями) и
окружностями. Приведём примеры типичных задач по каждой из обозначенных тем.

Треугольники

Пример . Отрезки AB и
DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются
в точке M. Найдите MC, если AB=14,

DC=42, AC=52.

Рåøåíèå.

Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие при
параллельных прямых AB и CD и секущей AC (см. рисунок),
углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно,треугольники
DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,

AM AB 14 1 = = 42 =
3. MC CD

Следовательно,

                                                                        1                          4

AC = AM +MC = ₃MC+MC = ₃MC,

3AC откуда MC= ₄ =39.

Оòâåò. 39.

Пример . Прямая,
параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB
и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN,
если MN=17, AC=51, NC=32.



Рåøåíèå.

Поскольку прямая MN параллельна
прямой AC, углы BNM и BCA равны как соответственные при
параллельных прямых AC и MN и секущей BC.
Следовательно,треугольники ABC и MBN подобны по двум углам.

                         BC        AC       51

Значит, BN = MN = ₁₇ =3, а поскольку

                                               BC         BN +NC                 32

= = 1+^, BN BN BN

получаем

32

BN = ₂ = 16.

Оòâåò. 16.

Пример . Катеты
прямоугольного треугольника равны 18 и 24.

Найдите высоту,
проведённую к гипотенузе.

Рåøåíèå.

C

                                                    A           H                      B

Пусть в прямоугольном треугольнике
ABC с прямым углом C катеты AC и BC равны 18 и 24 соответственно.
Тогда гипотенуза AB=30. С одной стороны, площадь треугольника равна
половине произведения катетов, а с другой стороны, она равна половине
произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней. Значит, высота CH,
проведённая к гипотенузе, равна ₃₀· =14_,4. 18 24

Оòâåò. 14_,4.

Пример . Точка H является
основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC
к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH =6, AC=24.



Рåøåíèå.

B

                                                     A       H                          C

Поскольку BH — высота треугольника ABC,
прямоугольные треугольники ABC и AHB подобны. Следовательно,

                               AB        AH                                    p

= _,       откуда
AB = AC · AH = 12. AC            AB

Оòâåò. 12.

Параллелограммы и трапеции

Пример . Биссектриса угла A
параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K.
Найдите периметр параллелограмма, если

BK=7, CK=12.

Рåøåíèå. Углы BKA и KAD равны как накрест
лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK, AK
— биссектриса угла BAD, следовательно, ∠BKA=∠KAD=∠BAK.
Значит, треугольник BKA равнобедренный, и AB=BK=7.

                                                   B               K                            C

                                            A                                             D

По формуле периметра параллелограмма
находим

P_ABCD = 2(AB+BC) = 52.

Оòâåò. 52.

Пример . Расстояние от
точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из
диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Рåøåíèå. Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в
точке O, а отрезок OH —высота треугольника AOD, причём

                                                     AC =
60_,         OH
= 15.

Тогда в
прямоугольном треугольнике AOH гипотенуза AO вдвое больше катета OH,
значит, угол OAH равен 30^◦.



Диагонали ромба делят его углы пополам,
следовательно, ∠BAD=

=∠BCD=60^◦, а ∠ABC=∠ADC=120^◦.

Оòâåò. 60^◦; 120^◦; 60^◦; 120^◦.

Пример . Высота AH ромба
ABCD делит сторону CD на отрезки DH=8 и CH=2.
Найдите высоту ромба.

Рåøåíèå. Поскольку
ABCD —ромб, AD=DC=DH +HC=10.

Треугольник ADH
прямоугольный, поэтому

AH =pAD² −DH² = 6.

Оòâåò. 6.

Пример . Биссектрисы углов
A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются
в точке F. Найдите AB, если AF =24,

BF=10.

Рåøåíèå. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции,
равна 180^◦, значит,

∠ABF+∠BAF ABCBAD ABC+∠BAD)
= 90^◦.



Получаем, что
треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F. По теореме
Пифагора находим AB:

AB =pAF²+BF² =p24²+10²
= 26.

Оòâåò. 26.

Пример . Прямая,
параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB
и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину
отрезка EF, если AD=42, BC=14, CF :DF=4:3.

Рåøåíèå. Пусть T — точка
пересечения прямых AB и CD. Поскольку прямые AD, EF и
BC параллельны, треугольники ATD, ETF и BTC

TD      AD           4 подобны. Следовательно, TC = BC =3, откуда CD=2TC,
CF = ₇CD=

      8                                       15

= 7TC, а значит, TF =

                              EF       TF

Получаем BC = TC = ₇ , откуда EF =30.

Оòâåò. 30.

Пример . Найдите боковую
сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны
соответственно 60^◦ и 135^◦, а CD=36.

Рåøåíèå. Проведёмперпендикуляры BH и CG к
прямой AD. В прямоугольном треугольнике CDG угол GCD равен
45^◦, следовательно,

CG=CD·cos45^◦=18p

В прямоугольном
треугольнике ABH катет

BH = CG = 18p2_,

а угол ABH равен 30^◦.
Значит, AB= _cos30^BH _◦ = ¹⁸_pp₃ ² =12p6. p                                    2

        Оòâåò. 12    6.



Пример . В трапеции ABCD
основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой
стороны CD. Угол ADC равен 60^◦,

AC=2p3.
Найдите периметр трапеции.

Рåøåíèå.

Пусть K — точка пересечения
прямых AB и DC, и пусть BC=CD=x. Тогда AD
= 2x и BC — средняя линия треугольника AKD. Поэтому KC
= CD = x и треугольник AKD равносторонний.
Следовательно, AC — его медиана и высота. Значит, ADsin60^◦ =
AC, то есть p₃ p

2x ₂ = 2 3, откуда x =
2. Но тогда AB= BC =CD = 2, AD = 4 и периметр
трапеции равен 10. Оòâåò. 10.

Окружности

Пример . Отрезки AB и
CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=10,
а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны
соответственно 12 и 5.

Рåøåíèå. Пусть OM =12 и ON=5
— перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. Треугольники AOB
и COD равнобедренные, значит, AM =MB и CN =ND.

Тогда в
прямоугольном треугольнике MOB имеем

                                                        Ç              2  AB2

OB = OM + ₂ = 13.



В прямоугольном
треугольнике CON гипотенуза CO=OB=13, откуда

CN =pOC²−ON²=12.
Получаем, что CD=2CN =24.

Оòâåò. 24.

Пример . Медиана BM треугольника
ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её
середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности
треугольника ABC.

Рåøåíèå. Пусть K — середина
BC. Тогда угол BKM прямой (как вписанный угол, опирающийся на
диаметр). Значит MK является медианой и высотой треугольника BMC.
Поэтому треугольник BMC равнобедренный. Следовательно, MB=MC=MA,
и точка M —центр описанной окружности треугольника ABC, радиус
которой равен MC=0_,5AC=2.

Оòâåò. 2.

Пример . Точка H является основанием высоты BH,
проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC.
Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в
точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=14.

Рåøåíèå. Угол PBK опирается
на дугу PK и равен 90^◦, а значит, PK —диаметр, откуда
получаем, что PK =BH=14.

Оòâåò. 14.

Пример . Окружность
пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и
P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите
длину отрезка KP, если AK =6, а сторона AC в 1_,5 раза больше стороны BC.

Рåøåíèå. Четырёхугольник BKPC вписан в окружность,
значит, ∠KBC +∠KPC = 180^◦. Углы APK и CPK смежные,
значит, их сумма 

также равна 180^◦.
Получаем, что ∠KBC=∠APK.

В треугольниках ABC
и APK угол A общий, ∠KBC=∠APK, следо-

AK          AC вательно,
эти треугольники подобны. Значит, = =1_,5, откуда

                                                                                                  KP        BC

AK

получаем, что KP=
₁,5 =4.

Оòâåò. 4.

Пример . Окружность с
центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C
и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности,
если AB=9, AC=12.

Рåøåíèå. Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC
в точке D, а DC=x. Тогда по свойству касательной и
секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем

                                     AB² = AC(AC
− x)_;            81
= 12(12− x)_,

откуда x=5_,25.

Оòâåò. 5_,25.

Пример . Углы B и C
треугольника ABC равны соответственно 71^◦ и 79^◦.
Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC,
равен 8.

Рåøåíèå. Пусть R —радиус описанной
окружности, тогда

BC

R = 2sin
A.

Получаем, что BC=8·2·sin(180^◦−71^◦−79^◦)=8·2·sin30^◦=8.

Оòâåò. 8.

Подготовительныезадачи

1.        
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а
отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите AC,
если AB= 11, DC = 22, MC=18.

2.        
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC,
пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно.
Найдите CN, если MN=13, AC=65, BN =7.

3.        
Точка H является основанием высоты, проведённой из
вершины прямого угла B треугольника к гипотенузе AC. Найдите AB,
если AH =5, AC=20.

4.        
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает
сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK
= 8, CK=15.

5.        
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на
отрезки DH = 8 и CH=9. Найдите высоту ромба.

6.        
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD,
пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Найдите длину отрезка EF, если AD=60, BC=15, CF :DF=2:3.

7.        
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше
основания BC

и вдвое больше
боковой стороны CD. Угол ADC равен 60^◦, AB⁼p3. Найдите AC.

8.        
Углы B и C треугольника ABC равны
соответственно 61^◦ и 89^◦. Найдите BC, если радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.

9.        
Точка H является основанием высоты BH,
проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC.
Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в
точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=13.

10.      Окружность
пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и
P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите
длину отрезка KP, если AK =14, а сторона AC в 2 раза
больше стороны BC.

Зачётныезадачи

1.        
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а
отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите AC,
если AB = 12, DC = 48, MC=28.

2.        
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC,
пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно.
Найдите CN, если MN =14, AC=21, BN =20.

3.        
Точка H является основанием высоты, проведённой из
вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC.
Найдите AB, если AH=7, AC=28.

4.        
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает
сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK
=5, CK =14.

5.        
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на
отрезки DH =12 и CH=3. Найдите высоту ромба.

6.        
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD,
пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
Найдите длину отрезка EF, если AD=25, BC=15, CF :DF=3:2.

7.        
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше
основания BC

и вдвое больше
боковой стороны CD. Угол ADC равен 60^◦, BD =4p3.
Найдите площадь трапеции.

8.        
Углы B и C треугольника ABC равны
соответственно 73^◦ и 77^◦. Найдите BC, если радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.

9.        
Точка H является основанием высоты BH,
проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC.
Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в
точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=15.

10.      Окружность
пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и
P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите
длину отрезка KP, если AK =18, а сторона AC в 1_,2 раза больше стороны BC.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Задание  ОГЭ по математике представляет собой
планиметрическую задачу на доказательство, связанную со свойствами
треугольников, четырёхугольников, окружностей. Во многих случаях доказательство
может быть проведено несколькими способами. Рассмотрим типичные примеры.
Решение каждого из них основано на одном из возможных способов.

Треугольники

Пример . В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты

AA₁ и BB₁.
Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁
равны. Рåøåíèå.  Диагонали            четырёхугольника

AB₁A₁B
пересекаются, значит, он является выпуклым. Поскольку

∠AB₁B =∠AA₁B =
90^◦_,

около четырёхугольника AB₁A₁B
можно описать окружность. Следовательно, углы AA₁B₁
и ABB₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу AB₁.

Пример . В треугольнике ABC
с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁.
Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
Рåøåíèå. Поскольку угол ACB тупой, осно-

A₁ вания A₁ и B₁ высот
лежат на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали
четырёхугольника AA₁B₁B пересекаются,
поэтому он выпуклый.

               Поскольку
∠AA₁B=∠AB₁B=90^◦,
около че-             A                                    B

тырёхугольника AA₁B₁B
можно описать окружность. Значит, углы AB₁A₁ и
ABA₁ равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A₁A.
Аналогично ∠BA₁B₁=∠BAB₁.
Следовательно, треугольники A₁CB₁ и ACB подобны
по двум углам.

Четырёхугольники

Пример . Биссектрисы углов
A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K,
лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

Задание 			
Рåøåíèå. Проведём прямую KF парал-	B	K	C

лельно стороне AB (см.
рисунок). Тогда в каждом из параллелограммов ABKF

и CDFK диагональ делит угол пополам,

поэтому
эти параллелограммы являются               A                F                 D

ромбами. Значит, BK =KF =KC.
Следовательно, точка K — середина BC.

Пример . Сторона BC параллелограмма
ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC.
Докажите, что AK — биссектриса угла BAD.

           Рåøåíèå.
Проведём прямую KF парал-                    B                K                   C

лельно стороне AB (см.
рисунок). Поскольку BK = KC = AB, параллелограмм ABKF является
ромбом, поэтому диагональ AK

ромба ABKF делит угол BAF пополам.
Зна- A F D чит, AK
— биссектриса угла BAD.

Пример . Через точку O пересечениядиагоналейпараллелограмма
ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в
точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ
равны.

Рåøåíèå. В треугольниках BPO и DQO

стороны BO и DO равны по свойству диа-                       B                                       C

гоналей
параллелограмма, ∠PBO =∠QDO как накрест лежащие углы при
параллельных прямых AB и CD и секущей BD, а ∠POB=∠QOD
как вертикальные углы.

                                                                                           A                                   D

Значит, треугольники BPO и DQO
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, отрезки BP
и DQ равны.

Пример . Внутри
параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что
сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади
параллелограмма.

Рåøåíèå. Проведём через точку E пря-

мые MN и PQ,
параллельные сторонам па- B N
C раллелограмма(см. рисунок). Эти прямые разбивают исходный
параллелограмм на четыре меньших, а отрезки EA, EB, EC,

ED являются диагоналями этих паралле-

A  M             D
лограммов и разбивают каждый из них на равные треугольники.

Пусть площади треугольников BEN,
CEN, AEM и DEM равны S₁, S₂,
S₃, S₄ соответственно. Тогда площадь
параллелограмма ABCD рав-

                                                             Задание 

на 2 S₁+S₂+S₃+S₄4, а сумма площадей
треугольников BEC и AED равна S1+S2+S3+S , что вдвое меньше площади параллелограмма ABCD.

Пример . Биссектрисы углов
B и C трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются
в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена
от прямых AB, BC и CD.

Рåøåíèå. Точка O лежит на биссектри-

се угла ABC, поэтому
эта точка равноуда- ^{B C}
лена от прямых AB и BC. Аналогично точка O равноудалена
от прямых BC и CD.

Значит, точка O равноудалена
от пря-

A  O             D
мых AB, BC и CD.

Пример . В трапеции ABCD
с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Рåøåíèå. Расстояния от точек B и C
до пря-

мой AD равны,
следовательно, площади тре- ^{B C} угольников ABD и ACD равны. Тогда

SAOB
= SABD −SAOD = SACD −SAOD = SCOD.

Значит, площади треугольников AOB и COD

равны.                                                                                          ^{A                                    D}

Пример . На средней линии трапеции ABCD с
основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E.
Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна
половине площади трапеции. Рåøåíèå. Проведём через точку E высоту

H₁H₂
трапеции. По теореме Фалеса средняя ли- ^{B H1 C} ния разделит
высоту пополам.

Пусть EH₁=EH₂=h.
Тогда сумма площадей треугольников BEC и AED равна.

BC  AD           BC+ AD    A              H2                  D h· 2 +h· 2 = h·     2              .

BC + AD

При этом площадь
трапеции равна 2h· 2 ,
что как раз вдвое больше найденной суммы площадей треугольников.

Пример . Точка
E —середина боковой стороны AB трапеции

ABCD.
Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции

Рåøåíèå. Пусть F — точка
перечения прямых CE и AD. В треугольниках EFA и ECB стороны
EA и EB равны по условию, углы при вершине E равны как
вертикальные, а углы EBC и EAF равны как накрест

Задание 		
лежащие при параллельных прямых AD и BC	B	C

и секущей AB. Значит,
треугольники EFA и ECB равны. Следовательно, их площади равны,
поэтому площадь трапеции ABCD равна площади треугольника FCD.

Из равенства треугольников EFA и
ECB вы- F A D текает,
что FE = EC, поэтому DE — медиана

в треугольнике FCD.
Тогда площадь треугольника DEC равна половине площади треугольника FCD,
а значит, и половине площади трапеции ABCD.

Пример . Основания BC и
AD трапеции ABCD равны соответственно  и , BD=10.
Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

             Рåøåíèå.
В треугольниках ADB и DBC углы                                     B       C

ADB и DBC равны
как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD,

                               AD       DB

и, кроме
того, DB = BC =2.                                                       _A                                     D

Поэтому указанные треугольники подобны по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пример . В выпуклом
четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что
углы ABD и ACD также равны.

Рåøåíèå. Поскольку
четырёхугольник ABCD выпуклый и ∠BCA =∠BDA, около
четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Значит, ∠ABD=∠ACD
как вписанные углы, опирающиеся

на одну
дугу AD.                                                                             A

Пример . Известно, что около
четырёхуголь-

ника ABCD можно
описать окружность и что про- ^D должения сторон AB и CD четырёхугольника
пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Рåøåíèå. Можно считать, что точ- _D ка C лежит
между точками D и M (см. рисунок).

У треугольников MBC и MDA угол M общий.
Кроме того,

∠MBC = 180^◦ −∠ABC

по
свойству смежных углов, а ∠ADC = 180^◦ − ∠ABC по
свойству вписанного четырёхугольника, поэтому ∠ADM =∠CBM. Значит,
треугольники MBC и MDA подобны по двум углам.

                                                             Задание 

Окружности

Пример . Окружности с центрами
в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём
точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите,
что прямые AB и IJ перпендикулярны.

Рåøåíèå. Точка I
равноудалена от точек

A и B,
поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Аналогично точка J лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Значит, прямая, содержащая точки I и J, является серединным
перпендикуляром к отрезку AB.

Следовательно, прямые IJ и AB перпендикулярны.

Пример . Окружности с
центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не
лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит
отрезок, соединяющий их центры, в отношении m: n. Докажите, что
диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Рåøåíèå. Пусть A и B —
точки касания окружностей с общей касательной, O — точка пересечения
прямых IJ и AB (см. рисунок). Тогда ∠IAO =90^◦ и
∠JBO =90^◦ как углы между касательной и радиусами, проведёнными
в точки касания, ∠AOI =∠BOJ как вертикальные углы, поэтому
прямоугольные треугольники AOI и BOJ подобны.

                                          IA       IO      m

Следовательно, = = , значит, радиусы окружностей с цен-

                                          JB       JO       n

трами в точках I
и J относятся как m:n. Таким образом, и диаметры этих
окружностей относятся как m:n.

Подготовительныезадачи

1.        
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁
и BB₁. Докажите, что углы BB₁A₁
и BAA₁ равны.

2.        
Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD
пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M
—середина AD.

3.        
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку
F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна
сумме площадей треугольников ABF и CDF.

4.        
Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD с
основаниями AD и BC пересекаются в точке P, лежащей на
стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC,
CD и AD.

5.        
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и
BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей
треугольников ABK и CKD равна половине площади трапеции.

6.        
Основания BC и AD трапеции ABCD равны
соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA
подобны.

7.        
Около четырёхугольника ABCD описана окружность.
Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке E. Докажите, что
треугольники BEA и CED подобны.

8.        
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны. Докажите, что диагонали
этого четырёхугольника равны.

9.        
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются
в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну
сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

10.      Учитель
изобразил на доске выпуклый многоугольник и попросил учеников оценить сумму его
углов. Вика сказала, что сумма углов многоугольника больше 500^◦;
Ника —что сумма углов многоугольника больше 600^◦; Лика — что сумма
углов многоугольника больше 700^◦. Учитель ответил, что права только
одна из них. Докажите, что многоугольник, изображённый учителем, является
пятиугольником.

Зачётныезадачи

1.        
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁
и CC₁. Докажите, что углы C₁A₁B
и CAB равны.

2.        
Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD
пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L
— середина AB.

3.        
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку
F. Докажите, что сумма площадей треугольников ABF и CDF равна
половине площади параллелограмма.

4.        
Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD с
основаниями AD и BC пересекаются в точке M, лежащей на
стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB,
AD и CD.

5.        
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и
BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей
треугольников BFC и AFD равна сумме площадей треугольников ABF
и CFD.

6.        
Основания BC и AD трапеции ABCD равны
соответственно 4_,5
и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

7.        
Около четырёхугольника ABCD описана окружность.
Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке E. Докажите, что
треугольники BEC и AED подобны.

8.        
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника
взаимно перпендикулярны.

9.        
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются
в точках K и L, причём точки P и Q лежат по разные
стороны от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

10.      Учитель
изобразил на доске выпуклый многоугольник и попросил учеников оценить сумму его
углов. Ваня сказал, что сумма углов многоугольника меньше 600^◦; Веня
— что сумма углов многоугольника меньше 700^◦; Женя — что сумма углов
многоугольника меньше 800^◦. Учитель ответил, что прав только один из
них. Докажите, что многоугольник, изображённый учителем, является
шестиугольником.

Задание

Краткиеметодическиерекомендации

Последнее, 26-е задание ОГЭ по математике представляет собой
планиметрическую задачу на вычисление, более сложную по сравнению с задачей .
Последнюю можно рассматривать как своего рода подготовительную задачу: многие
идеи и методы, необходимые для её решения, используются и при решении задания
. Значительная часть задач связана с окружностью. Рассмотрим типичные
примеры.

Треугольники

Пример . В треугольнике ABC
биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Рåøåíèå. Пусть P — точка
пересечения отрезков BE и AD (см. рисунок).

Треугольник ABD равнобедренный, так как его
биссектриса BP является высотой. Поэтому

                                        AP = PD = 6_;            BC =
2BD = 2AB.

По свойству
биссектрисы треугольника ABC имеем

                                     CE        BC

                                         _AE = _AB = 2^,            откуда AC
= 3AE.

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AD.
Тогда BK = AC = 3AE.

Из подобия
прямоугольных треугольников APE и KPB следует, что

                                                          PE        AE        1

= = 3.

                                                          BP        BK

Поэтому PE=3 и BP=9.
Следовательно,

                              AB
=pAP²+BP² = 3p13_;                 BC =
2AB = 6p13_;

                           AE
=ppAP²+EPp ² = 3p5;                 AC
= 3AE = 9p5.

        Оòâåò.
3p13; 6      13; 9    5.



Пример . Через середину K
медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена
прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение
площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

         Рåøåíèå.           Проведём
MT k AP. Тогда

MT —
средняя линия треугольника APC и

CT = TP,
а KP — средняя линия треугольника BMT и TP=BP.
Обозначим площадь треугольника BKP через S. Тогда площадь
треугольника KPC, имеющего ту же высоту и вдвое большее основание, равна
2S. Зна-

чит, площадьтреугольника CBK равна 3S
и равна площадитреугольника CMK, которая в свою очередь равна
площади треугольника AMK. Площадь треугольника ABK равна площади
треугольника AMK. Итак,

        SBKP
= S,          SKPC = 2S,              SCMK = 3S = SAMK = SABK,              SKPCM = 5S.

Значит, S_ABK
:S_KPCM =3:5.

Оòâåò. 3:5.

Пример . Медиана BM и
биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K,
длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение
площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.

Рåøåíèå. Пусть AM =MC =3x. Тогда AB=2x.
Так как AK —биссектриса треугольника ABM, имеем BK : KM
= AB : AM = 2 : 3, а так как AP — биссектриса
треугольника ABC, имеем

BP : PC = AB : AC = 1 : 3.

Обозначим площадь треугольника BKP через
S. Тогда площадь треугольника KPC, имеющего ту же высоту и втрое
большее основание, равна 3S. Значит, площадь треугольника CBK равна
4S, а площадь треугольника CMK равна 6S и равна площади
треугольника AMK. Тогда площадь треугольника ABK равна 4S.
Итак,

                SBKP = S,          SKPC = 3S,            SCMK = 6S = SAMK,            SABK = 4S.

Значит, S_ABK :S_ABC =(4S):(20S)=1:5.
B

                                          A           ³x                 M           ³x                  C

Оòâåò. 1:5.



Четырёхугольники

Пример . Биссектрисы углов
A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.
Найдите площадьпараллелограмма,если BC=19, а расстояние от точки K до
стороны AB равно 7.

Рåøåíèå. Пусть KH, KN
и KM —перпендикуляры, опущенные из точки K к сторонам AB,
BC и AD соответственно (см. рисунок). Тогда KM =KH =KN
=7.

Кроме того, точки M, K и N лежат на
одной прямой, и высота MN параллелограмма ABCD равна MK + KN
=14. По формуле площади параллелограмма находим

S_ABCD = BC ·MN = 19·14 = 266.

Оòâåò. 266.

Пример . Углы при одном из
оснований трапеции равны 77^◦ и 13^◦, а отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите
основания трапеции.

Рåøåíèå. Пусть ABCD —
данная трапеция, AD —большее основание, K и L —середины
сторон AB и CD соответственно. Сумма углов при одном из оснований
равна 77^◦ +13^◦ =90^◦, так что это большее
основание AD.

Продлимбоковые стороны трапециидо пересечения в точке O (см.
рисунок). Легко видеть, что

∠AOD = 180^◦−(77^◦+13^◦)
= 90^◦.

AD

Пусть N — середина
основания AD. Тогда ON = ₂ — медиана прямоугольного треугольника AOD.
Поскольку медиана ON делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AO
и DO треугольника AOD, параллельный стороне AD, она
пересекает основание BC также в его середине M.



                                     BC                                                    AD     BC

                Значит, OM =
₂ . Таким
образом, MN ^{= −}₂                   .
Средняя линия

AD+BC KL трапеции при этом равна  ₂              .

Получаем

               AD = MN+KL = 11+10 = 21_,                    BC
= KL−MN = 11−10 = 1.

Оòâåò. 21; 1.

Пример . Боковые стороны AB
и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC
равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.
Найдите площадь трапеции.

Рåøåíèå. Пусть M — середина AB (см.
рисунок). Продолжим биссектрису DM угла ADC до пересечения с
продолжением основания BC в точке K. Поскольку

∠CKD =∠ADK =∠CDK_,

треугольник KCD равнобедренный, KC=CD=
=41, тогда

KB = KC −BC = 41−16 = 25.

Из равенства
треугольников AMD и BMK следует, что AD=BK =25.

Проведём через вершину C прямую, параллельную стороне
AB, до пересечения с основанием AD в точке P, и тогда

PD = AD− AP = 25−16 = 9.

Треугольник CPD прямоугольный, так
как

CD² = 41² = 40²+9²
= PC²+PD².

Поэтому CP —высота трапеции.
Следовательно,

1

S_ABCD = ₂(AD+BC)CP = 820.

Оòâåò. 820.

Окружности

Пример . В
треугольнике ABC известны длины сторон AB=84,

AC =98,
точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в
точке D. Найдите CD.

Рåøåíèå. Пусть продолжение отрезка BD за точку D пересекает
окружность, описанную около треугольника ABC, в точке P (см.
рисунок). Тогда хорда BP перпендикулярна радиусу OA этой
окружности. 

Значит, точка A —
середина дуги BP, не содержащей вершину C. Отсюда следует, что

∠ABD =∠ABP =∠ACB

(как вписанные углы, опирающиесяна равные
дуги). Поэтому треугольники ABD и ACB по-

добны по двум углам (угол A общий).      ^A AD        AB

Следовательно, = ,
откуда

                                        AB       AC

AB²

                     AD =             = 72_;             CD =
AC − AD = 98−72 = 26.

AC Оòâåò.
26.

Пример . В треугольнике ABC
биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в
отношении 5 : 3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника ABC, если BC=8.

Рåøåíèå. Пусть BH — высота треугольника, которую
биссектриса пересекает в точке O (см. B рисунок).

По теореме о
биссектрисе в треугольнике ABH

                 BA         BO        5

имеем          AH = OH =
₃. Следовательно, cos A
=

AH           3                                    Ç
₋3²                   4

= AB =. Тогда sin A= 1                           ₅ = ₅. По теоре-

₅ ме синусов для
треугольника ABC искомый радиус равен 2sin A = 2··4 =5.

                     BC          8 5

Оòâåò. 5.

Пример . Точки M и N лежат на
стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от
вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N
и касающейся луча AB, если cos∠BAC=

Рåøåíèå. Пусть K — точка касания окружности с
лучом AB (см. рисунок). По теореме о касательной и секущей

AK² = AM · AN = 4·15 = 60.

По теореме
косинусов KM² = AM²+AK²−2AM·AK
cos∠BAC =

p

4 Значит, KM =4.



Треугольник AKM равнобедренный,
поэтому

∠AKM =∠KAM =∠BAC.

По теореме об угле между касательной и
хордой

∠KNM =∠AKM =∠BAC.

Пусть R
— радиус окружности, проходящей через точки M, N и K.
По теореме синусов R    2sin∠KNM               15
q

Оòâåò. 8.

Пример . На стороне BC
остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена
полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 49,
MD = 42, H —точка пересечения высот треугольника ABC.
Найдите AH.

Рåøåíèå. Пусть
окружность с диаметром

BC вторично
пересекается с прямой AC в точке K (см. рисунок). Поскольку BK
—высота остроугольного треугольника ABC, точка K лежит на
стороне AC, а точка H лежит на отрезке BK.

Продолжим высоту AD за точку D до пересечения
с окружностью в точке Q. Тогда DQ=MD=42. По следствию из
теоремы о касательной и секущей

AK · AC = AM · AQ = 7·91 = 637.

Из подобия прямоугольных треугольников AKH
и ADC следует, что

                                                              AK        AD

= ^,

                                                              AH         AC

откуда AK · AC= AD· AH=49AH.

Значит, 49AH =637.
Следовательно, AH =13.

Оòâåò. 13.

Пример . В
параллелограмме ABCD проведена диагональ AC.

Точка O является
центром окружности, вписанной в треугольник

ABC.
Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно
равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Рåøåíèå. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC,
касается сторон AB, BC и AC в точках M, L и K
соответственно (см. рисунок), H — проекция точки O на прямую AD
(точка H может лежать 

либо на стороне AD,
либо на её продолжении). Тогда OL = OK = 3, точки O, L и
H лежат на одной прямой, HL —высота параллелограмма ABCD, HL=OL+OH=3+4=7.
Из прямоугольного треугольника

AOK находим,
что AK =pOA²−OK²=4.

Пусть p и S — полупериметр и площадь
треугольника ABC, r=3— радиус окружности, вписанной в него.
Обозначим BC=x. Тогда

p = AK +CL+BL = AK +BC =
4+x_,

                            1                     1

                       S = ₂BC ·HL = ₂x ·7 = 3,5x,               S
= p·r = 3(4+x).

Из уравнения 3_,5x=3(4+x)
находим, что BC=x=24. Следовательно,

S_ABCD = 2S = 2pr = 168.

Оòâåò. 168.

Пример . В трапеции ABCD
боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность
проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой

CD, если AD=14,
BC=12.

Рåøåíèå. Пусть T —точка
пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на
прямую CD, Q —проекция точки C на прямую AD (см.
рисунок). Обозначим CD=x.

Поскольку QD= AD− AQ= AD−BC=2,
из подобия прямоугольных треугольников TBC и CQD находим, что TC
=6x. По теореме о касательной и секущей

TE² = TD·TC = 42x².

Из подобия прямоугольных треугольников TPE
и TBC имеем

                              BC TE          12 x     42

EP
= TC· = ·6xp = 2p42.

Оòâåò. 2p42.



Пример . В трапеции ABCD
основания AD и BC равны соответственно 49 и , а сумма углов
при основании AD равна 90^◦. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки A и B и касающейся пря-

мой CD,
если AB=20.                                                                                _P

Рåøåíèå. Продлимбоковые стороны трапеции до пересечения в
точке P (см. рисунок).

Из условия следует, что ∠APD = 90^◦. Из _AD подобия треугольников APD
и BPC получа-

                BP       BC                        BP          21

ем, что AP = AD, то есть BP+₂₀ = ₄₉, откуда BP=15.

Пусть окружность касается прямой CD в точке K,
а O —её центр. Опустим из точки

O перпендикуляр OM на хорду AB.
Точка M — середина AB. Так как OMPK —прямоугольник,
находим искомый радиус:

1

OK = MP = BP+ AB = 15+10 = 25.

2 Оòâåò.
25.

Пример . В равнобедренную
трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать
окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её
меньшего основания.

Рåøåíèå. Пусть BC — меньшее основание, AB —
боковая сторона, AD — большее основание трапеции ABCD, M —точка
касания окружности со стороной AB, N —со стороной BC, Q
— точка пересечения диагоналей, O — центр окружности, r — её
радиус (см.

                                                                                     A                                                     D

рисунок).

Поскольку трапеция описана около окружности, сумма её
боковых сторон равна сумме оснований, то есть 60, поэтому

AD+BC

                                               S_ABCD =
2r·                ₂
= 60r.

Значит, r=9.

Прямые AD и BC параллельны. Значит, ∠ABC +∠BAD=180^◦.
Поскольку лучи AO и BO —биссектрисы углов BAD и ABC соответственно,
получаем ∠ABO +∠BAO = 90^◦. Значит, треугольник AOB прямоугольный,
а OM —его высота, опущенная на гипотенузу, поэтому

AM ·MB = OM² = r²_;                      AM(AB−
AM) = r²_;                    AM(30− AM) = 81.



Учитывая, что AM > BM, из этого
уравнения находим, что AM =27. Тогда AD =54, BC =6.
Треугольник AQD подобен треугольнику CQB

с коэффициентом
подобия 9, значит, высота QN треугольника BQC

1 составляет               высоты
трапеции, то есть диаметра вписанной в неё

10

окружности.

1 Следовательно, QN= ·18=1_,8.

10 Оòâåò.
1_,8.

Пример . Середина M стороны
AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его
вершин. Найдите AD, если BC=10, а углы B и C четырёхугольника
равны соответственно 112^◦ и 113^◦.

Рåøåíèå. Условие задачи
означает, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром M,
а AD — её диаметр (см. рисунок).

Так как сумма противоположных углов вписанного
четырёхугольника равна 180^◦, получаем, что ∠DAB=67^◦ и
∠ADC=68^◦.

Угол ABD прямой,
так как он опирается на диаметр, поэтому ∠ADB=90^◦−67^◦=23^◦,
откуда ∠CDB=68^◦−23^◦=45^◦. По теореме
синусов для треугольника CDB получаем

                                                                 BC                p

                                                  AD =                 =
10     2.

sin45^◦
Оòâåò. 10p2.

Пример . Четырёхугольник
ABCD со сторонами AB = 25 и

CD=16 вписан в окружность. Диагонали
AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60^◦.
Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

                           DM
=pCM²+CD²−2CM ·CDcos∠DCM          p

По теореме синусов радиус окружности равен

                                                DM               p

2sin∠DBM Оòâåò. p427.



Пример . Из вершины
прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP.
Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP,

4 равен 8, тангенс угла BAC
равен              . Найдите радиус вписанной окруж-

3

ности треугольника ABC.

Рåøåíèå. Обозначим радиусы вписанных окружностей
треугольников ABC, BCP и ACP через r, r₁
и r₂ соответственно. Треугольники ABC, CBP и
ACP подобны по двум углам. Поэтому отношение сходственных элемен-

тов любых двух из этих треугольни- A P B ков равно
соответствующему коэффициенту подобия, т.е. отношению сходственных сторон.
Значит,

r1 = BC , r2 = AC , r1 = BC = tg(_∠BAC_{) =} 4_. r AB r AB r2 AC 3

Возведя в квадрат и почленно сложив два
первых равенства, получим

r12+r22               BC2+ AC2                                              2            2           2                 r1          4

2 = ₂ = 1, откуда r =r₁
+ r₂. Но = , следовательно, r          AB           r₂                    3

         3                                       ^{2           2                   2            2}

r₂= r₁=6.
Тогда r=pr₁ +r₂ =p6 +8 =10.

4

Оòâåò. 10.

Пример . Окружности
радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на
первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD
— общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и
CD.

Рåøåíèå. Пусть O и O₁
— центры первой и второй окружностей соответственно (см. рисунок). Линия
центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому
расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть 125.

Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности
на радиус O₁C второй окружности. Тогда

O₁P = O₁C −PC
= O₁C −OA = 100−25 = 75.



Из
прямоугольного треугольника OPO₁ находим, что OP²=10000,
а так как четырёхугольник AOPC — прямоугольник, AC=OP=100.
Опустим перпендикуляр AQ из точки A на прямую CD, тогда

∠O₁OP = 90^◦−∠OO₁P
=∠O₁CD = 90^◦ −∠ACQ =∠CAQ.

Прямоугольные треугольники AQC и OPO₁
подобны по двум углам,

AQ OP  OP· AC OP² поэтому = . Следовательно, AQ=
= =80.

                  AC      OO₁                                                                             OO₁              OO₁

Оòâåò. 80.